考虑首项系数为 1 的四次代数方程

\[
y^4+ay^3+by^2+cy+d=0.
\]

与三次方程类似, 令 $y=x-\frac{a}{4}$, 可化为下列不含次高阶的代数方程

\[
x^4+px^2+qx+r=0.
\]

笛卡尔(R. Descartes, 1596--1650)在1637年提出了下面的方法. 令

\[
x^4+px^2+qx+r=(x^2+kx+\ell)(x^2+nx+m).
\]

>> (x^2+kx+l)*(x^2+nx+m)
in> (x^2+kx+l)*(x^2+nx+m)

out> x^4+(n+k)x^3+(m+k*n+l)x^2+(k*m+l*n)x^1+l*m
------------------------

比较两边 $x^3, x^2, x$ 各项的系数以及常数项, 得

\[
\begin{cases}
n+k=0,\\
m+kn+\ell=p,\\
km+\ell n=q,\\
\ell m=r.
\end{cases}
\]

由第一个方程 $n=-k$, 代入其他三个方程, 得

\[
\begin{cases}
m-k^2+\ell=p,\\
k(m-\ell)=q,\\
\ell m=r.
\end{cases}
\]

参考自 [1]

References

[1] 冯承天,  从一元一次方程到伽罗瓦理论.